Xét \(f'\left(x\right)=4x^3+3mx^2+2mx+m=0\Leftrightarrow m\left(3x^2+2x+1\right)=-4x^3\)

                 \(\Leftrightarrow\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) 

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) có tập xác định : \(D_g=!\)

\(g'\left(x\right)=\frac{-4x^2\left(3x^2+2x+1\right)}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}=\frac{-4x^2\left[2\left(x+1\right)^2+x^2+1\right]}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}\le0\) với mọi \(x\in!\)

\(\lim\limits g\left(x\right)_{x\rightarrow\infty}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{-4x}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\infty\)

Nghiệm của phương trình \(f'\left(x\right)=0\) cũng là giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y = g(x)

Lập bảng biến thiên ta có đường thẳng y=m cắt y =g(x) tại đúng 1 điểm 

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\)

 có đúng 1 nghiệm

Vậy hàm số y=f(x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu

\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu :

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2-3.9>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là \(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\), ta có điêu kiện cần là 

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Khi m=1 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x+5. Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là 

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiể là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\)=> m=1

Khi m=-3 suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2-11

=> m=-3 không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m²  + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)

Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)

Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)

Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=0\)

Ta có: y^'= x² - 3x - m -1 + (2x - 3)( x - m) = 3x² - (2m + 6)x + 2m-1

y^'=0 ↔ 3x² - (2m + 6)x + 2m-1 = 0        (1)

Để hàm số y= (x - m)( x² - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thì phương trình y^'=0 có 2 nghiệm phân biệt ↔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ↔ Δ^' > 0 ↔ (m+3)² - 3(2m-1) >0  ↔ m² + 12 > 0   ( mọi m)

→ Hầm số luôn có cả cực đại và cực tiểu.

Gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1)

Khi đó, theo định lý Vi-ét, nghiệm của phương trình (1) là:  x₁ + x₂ = ( 2m+6)/3    ; x₁x₂= (2m -1)/3

Theo bài ra, ta có: | x_CĐ - x_CT| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)

↔| x₁ - x₂| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) ↔ 9| x₁ - x₂|² \(\ge\) 52   ↔  9( x₁ + x₂)² - 36x₁x₂ \(\ge\) 52

↔ m^2 \(\ge\) 1

→ \(m\ge1\) hoặc \(m\le-1\)

Hàm số xác định trên R

Ta có \(y'=3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1=0\left(1\right)\)

Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2+7>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge\frac{52}{9}\end{cases}\)

Theo định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\frac{2m-1}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(\left(\frac{2\left(m+3\right)}{3}\right)^2-4\frac{2m-1}{3}\ge\frac{52}{9}\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

Vậy m\(\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

\(y'=2x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2=3.9>0\)

     \(=\left(m+1\right)^2-3>0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có : \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là \(\left(x_1;y_1\right)\) và  \(\left(x_2;y_2\right)\)

=> \(y_1=-2\left(m^2+2m-2\right)x_1+4m+1\)

   \(y_2=-2\left(m^2+2m-2\right)x_2+4m+1\)

Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) ta có điều kiện cần là :

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Theo định lí Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\)

Khi m =1 => phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2x+5\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là :

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=1\) thỏa mãn

Khi m=-3 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x-11

(làm tương tự cách như trên)